แก้โจทย์ 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

หาค่า n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 3n^{2} จากทั้งสองด้าน

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

รวม 9n^{2} และ -3n^{2} เพื่อให้ได้รับ 6n^{2}

$$6n^{2}-23n+20=0$$

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก 6n^{2}+an+bn+20 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 120

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -23

$$a=-15 b=-8$$

เขียน 6n^{2}-23n+20 ใหม่เป็น \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

แยกตัวประกอบ 3n ในกลุ่มแรกและ -4 ในกลุ่มที่สอง

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 2n-5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ 2n-5=0 และ 3n-4=0

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ลบ 3n^{2} จากทั้งสองด้าน

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

รวม 9n^{2} และ -3n^{2} เพื่อให้ได้รับ 6n^{2}

$$6n^{2}-23n+20=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 6 แทน a, -23 แทน b และ 20 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

ยกกำลังสอง -23

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

คูณ -4 ด้วย 6

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

คูณ -24 ด้วย 20

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

เพิ่ม 529 ไปยัง -480

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

หารากที่สองของ 49

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

ตรงข้ามกับ -23 คือ 23

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

คูณ 2 ด้วย 6

$$n=\frac{23±7}{12}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{23±7}{12} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 23 ไปยัง 7

$$n=\frac{30}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{30}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$n=\frac{5}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{23±7}{12} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 7 จาก 23

$$n=\frac{16}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{16}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$n=\frac{4}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ลบ 3n^{2} จากทั้งสองด้าน

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

รวม 9n^{2} และ -3n^{2} เพื่อให้ได้รับ 6n^{2}

$$6n^{2}-23n+20=0$$

ลบ 20 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$6n^{2}-23n=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

หารด้วย 6 เลิกทำการคูณด้วย 6

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{-20}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

หาร -\frac{23}{6} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{23}{12} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{23}{12} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{23}{12} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

เพิ่ม -\frac{10}{3} ไปยัง \frac{529}{144} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

ตัวประกอบ n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

เพิ่ม \frac{23}{12} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$