แก้โจทย์ 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305+0.184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305-0.184427778i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 84 แทน a, 4\sqrt{3} แทน b และ 3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

ยกกำลังสอง 4\sqrt{3}

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

คูณ -4 ด้วย 84

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

คูณ -336 ด้วย 3

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

เพิ่ม 48 ไปยัง -1008

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

หารากที่สองของ -960

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

คูณ 2 ด้วย 84

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -4\sqrt{3} ไปยัง 8i\sqrt{15}

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

หาร -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} ด้วย 168

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 8i\sqrt{15} จาก -4\sqrt{3}

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

หาร -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} ด้วย 168

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

ลบ 3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 84

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

หารด้วย 84 เลิกทำการคูณด้วย 84

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

หาร 4\sqrt{3} ด้วย 84

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

ทำเศษส่วน \frac{-3}{84} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

หาร \frac{\sqrt{3}}{21} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{\sqrt{3}}{42} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{\sqrt{3}}{42} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{\sqrt{3}}{42}

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

เพิ่ม -\frac{1}{28} ไปยัง \frac{1}{588} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

ลบ \frac{\sqrt{3}}{42} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$