แก้โจทย์ 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

หาค่า y (complex solution)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0.75-1.299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0.75+1.299038106i$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -27 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 8 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$y=\frac{3}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ y-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 8y^{3}-27 ด้วย 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 เพื่อรับ 4y^{2}+6y+9 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$4y^{2}+6y+9=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 4 สำหรับ a 6 สำหรับ b และ 9 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

ทำการคำนวณ

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

แก้สมการ 4y^{2}+6y+9=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

หาค่า y

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -27 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 8 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$y=\frac{3}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ y-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 8y^{3}-27 ด้วย 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 เพื่อรับ 4y^{2}+6y+9 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$4y^{2}+6y+9=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 4 สำหรับ a 6 สำหรับ b และ 9 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

ทำการคำนวณ

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

เนื่องจากไม่ได้กำหนดรากที่สองของจำนวนลบในเขตข้อมูลจำนวนจริง จึงไม่มีผลเฉลยอยู่

$$y\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$y=\frac{3}{2}$$