แก้โจทย์ 8x^2+5x+2=0

$$8 x ^ { 2 } + 5 x + 2 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{39}i}{16}\approx -0.3125+0.390312375i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-5}{16}\approx -0.3125-0.390312375i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$8x^{2}+5x+2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 8 แทน a, 5 แทน b และ 2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

ยกกำลังสอง 5

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

คูณ -4 ด้วย 8

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-32\times 2}}{2\times 8}$$

คูณ -32 ด้วย 2

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-64}}{2\times 8}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -64

$$x=\frac{-5±\sqrt{-39}}{2\times 8}$$

หารากที่สองของ -39

$$x=\frac{-5±\sqrt{39}i}{2\times 8}$$

คูณ 2 ด้วย 8

$$x=\frac{-5±\sqrt{39}i}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{39}i}{16} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -5 ไปยัง i\sqrt{39}

$$x=\frac{-5+\sqrt{39}i}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{39}i}{16} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{39} จาก -5

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-5}{16}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-5+\sqrt{39}i}{16} x=\frac{-\sqrt{39}i-5}{16}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$8x^{2}+5x+2=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x^{2}+5x+2-2=-2$$

ลบ 2 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$8x^{2}+5x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$\frac{8x^{2}+5x}{8}=-\frac{2}{8}$$

หารด้วย 8 เลิกทำการคูณด้วย 8

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=-\frac{2}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{-2}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=-\frac{1}{4}$$

หาร \frac{5}{8} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{16} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{16} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{16} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{256}$$

เพิ่ม -\frac{1}{4} ไปยัง \frac{25}{256} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=-\frac{39}{256}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=-\frac{39}{256}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{256}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{5}{16}=\frac{\sqrt{39}i}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{\sqrt{39}i}{16}$$

ลบ \frac{5}{16} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-5+\sqrt{39}i}{16} x=\frac{-\sqrt{39}i-5}{16}$$