แก้โจทย์ 8x^2+13x+10=0

$$8 x ^ { 2 } + 13 x + 10 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}\approx -0.8125+0.768012858i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}\approx -0.8125-0.768012858i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$8x^{2}+13x+10=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 8 แทน a, 13 แทน b และ 10 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

ยกกำลังสอง 13

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

คูณ -4 ด้วย 8

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-32\times 10}}{2\times 8}$$

คูณ -32 ด้วย 10

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-320}}{2\times 8}$$

เพิ่ม 169 ไปยัง -320

$$x=\frac{-13±\sqrt{-151}}{2\times 8}$$

หารากที่สองของ -151

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{2\times 8}$$

คูณ 2 ด้วย 8

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -13 ไปยัง i\sqrt{151}

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{151} จาก -13

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$8x^{2}+13x+10=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x^{2}+13x+10-10=-10$$

ลบ 10 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$8x^{2}+13x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$\frac{8x^{2}+13x}{8}=-\frac{10}{8}$$

หารด้วย 8 เลิกทำการคูณด้วย 8

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{10}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{-10}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{5}{4}$$

หาร \frac{13}{8} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{13}{16} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{13}{16} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{13}{16} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{256}$$

เพิ่ม -\frac{5}{4} ไปยัง \frac{169}{256} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{151}{256}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{151}{256}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{256}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{13}{16}=\frac{\sqrt{151}i}{16} x+\frac{13}{16}=-\frac{\sqrt{151}i}{16}$$

ลบ \frac{13}{16} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$