แก้โจทย์ 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก 8x^{2}+ax+bx-7 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าบวกหมายเลขบวกมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -56

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม 10

$$a=-4 b=14$$

เขียน 8x^{2}+10x-7 ใหม่เป็น \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

แยกตัวประกอบ 4x ในกลุ่มแรกและ 7 ในกลุ่มที่สอง

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 2x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ 2x-1=0 และ 4x+7=0

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$8x^{2}+10x-7=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 8 แทน a, 10 แทน b และ -7 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

ยกกำลังสอง 10

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

คูณ -4 ด้วย 8

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

คูณ -32 ด้วย -7

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

เพิ่ม 100 ไปยัง 224

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

หารากที่สองของ 324

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

คูณ 2 ด้วย 8

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-10±18}{16} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -10 ไปยัง 18

$$x=\frac{8}{16}$$

ทำเศษส่วน \frac{8}{16} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 8

$$x=\frac{1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-10±18}{16} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 18 จาก -10

$$x=-\frac{28}{16}$$

ทำเศษส่วน \frac{-28}{16} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=-\frac{7}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$8x^{2}+10x-7=0$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

ลบ -7 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

ลบ -7 จาก 0

$$8x^{2}+10x=7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

หารด้วย 8 เลิกทำการคูณด้วย 8

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{10}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

หาร \frac{5}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

เพิ่ม \frac{7}{8} ไปยัง \frac{25}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

ตัวประกอบ x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

ลบ \frac{5}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$