แก้โจทย์ 8n^2+33n+31=0

$$8 n ^ { 2 } + 33 n + 31 = 0$$

หาค่า n

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16}\approx -1.446946387$$

$$n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}\approx -2.678053613$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$8n^{2}+33n+31=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 8 แทน a, 33 แทน b และ 31 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 8\times 31}}{2\times 8}$$

ยกกำลังสอง 33

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 8\times 31}}{2\times 8}$$

คูณ -4 ด้วย 8

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-32\times 31}}{2\times 8}$$

คูณ -32 ด้วย 31

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-992}}{2\times 8}$$

เพิ่ม 1089 ไปยัง -992

$$n=\frac{-33±\sqrt{97}}{2\times 8}$$

คูณ 2 ด้วย 8

$$n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -33 ไปยัง \sqrt{97}

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \sqrt{97} จาก -33

$$n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16} n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$8n^{2}+33n+31=0$$

ลบ 31 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8n^{2}+33n+31-31=-31$$

ลบ 31 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$8n^{2}+33n=-31$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$\frac{8n^{2}+33n}{8}=-\frac{31}{8}$$

หารด้วย 8 เลิกทำการคูณด้วย 8

$$n^{2}+\frac{33}{8}n=-\frac{31}{8}$$

หาร \frac{33}{8} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{33}{16} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{33}{16} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\left(\frac{33}{16}\right)^{2}=-\frac{31}{8}+\left(\frac{33}{16}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{33}{16} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256}=-\frac{31}{8}+\frac{1089}{256}$$

เพิ่ม -\frac{31}{8} ไปยัง \frac{1089}{256} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256}=\frac{97}{256}$$

ตัวประกอบn^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n+\frac{33}{16}\right)^{2}=\frac{97}{256}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n+\frac{33}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{256}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n+\frac{33}{16}=\frac{\sqrt{97}}{16} n+\frac{33}{16}=-\frac{\sqrt{97}}{16}$$

ลบ \frac{33}{16} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16} n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$