แก้โจทย์ 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-15y-2=0$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x-15y=2$$

เพิ่ม 15y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=15y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย 15y+2

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

ทดแทน \frac{15y+2}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+2y=3

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

เพิ่ม \frac{15y}{7} ไปยัง 2y

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

ลบ \frac{2}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{29}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{19}{29}$$

ทดแทน \frac{19}{29} สำหรับ y ใน x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

คูณ \frac{15}{7} ครั้ง \frac{19}{29} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

เพิ่ม \frac{2}{7} ไปยัง \frac{285}{203} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{49}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

เพื่อทำให้ 7x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

ลบ 7x+14y=21 จาก 7x-15y-2=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -7x ตัดพจน์ 7x และ -7x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-15y-14y-2=-21$$

เพิ่ม -15y ไปยัง -14y

$$-29y-2=-21$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-29y=-19$$

หารทั้งสองข้างด้วย -29

$$y=\frac{19}{29}$$

ทดแทน \frac{19}{29} สำหรับ y ใน x+2y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

คูณ 2 ด้วย \frac{19}{29}

$$x+\frac{38}{29}=3$$

ลบ \frac{38}{29} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{49}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$