แก้โจทย์ 7x^2-11x+4=0

$$7 x ^ { 2 } - 11 x + 4 = 0$$

หาค่า x

$$x=1$$

$$x=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 7x^{2}+ax+bx+4 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-11 ab=7\times 4=28$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 28

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -11

$$a=-7 b=-4$$

เขียน 7x^{2}-11x+4 ใหม่เป็น \left(7x^{2}-7x\right)+\left(-4x+4\right)

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(-4x+4\right)$$

แยกตัวประกอบ 7x ในกลุ่มแรกและ -4 ใน

$$7x\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-1\right)\left(7x-4\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-1=0 และ 7x-4=0

$$x=1 x=\frac{4}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$7x^{2}-11x+4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 7 แทน a, -11 แทน b และ 4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

ยกกำลังสอง -11

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

คูณ -4 ด้วย 7

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-28\times 4}}{2\times 7}$$

คูณ -28 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2\times 7}$$

เพิ่ม 121 ไปยัง -112

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2\times 7}$$

หารากที่สองของ 9

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2\times 7}$$

ตรงข้ามกับ -11 คือ 11

$$x=\frac{11±3}{2\times 7}$$

คูณ 2 ด้วย 7

$$x=\frac{11±3}{14}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{11±3}{14} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 11 ไปยัง 3

$$x=\frac{14}{14}$$

หาร 14 ด้วย 14

$$x=1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{11±3}{14} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 3 จาก 11

$$x=\frac{8}{14}$$

ทำเศษส่วน \frac{8}{14} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{4}{7}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=1 x=\frac{4}{7}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$7x^{2}-11x+4=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x^{2}-11x+4-4=-4$$

ลบ 4 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$7x^{2}-11x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$\frac{7x^{2}-11x}{7}=-\frac{4}{7}$$

หารด้วย 7 เลิกทำการคูณด้วย 7

$$x^{2}-\frac{11}{7}x=-\frac{4}{7}$$

หาร -\frac{11}{7} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{11}{14} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{11}{14} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{11}{7}x+\left(-\frac{11}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{11}{14}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{11}{14} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{121}{196}$$

เพิ่ม -\frac{4}{7} ไปยัง \frac{121}{196} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=\frac{9}{196}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{11}{7}x+\frac{121}{196} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{11}{14}\right)^{2}=\frac{9}{196}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{196}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{11}{14}=\frac{3}{14} x-\frac{11}{14}=-\frac{3}{14}$$

เพิ่ม \frac{11}{14} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=1 x=\frac{4}{7}$$