แก้โจทย์ 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$7x^{2}+4x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 7 แทน a, 4 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

ยกกำลังสอง 4

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

คูณ -4 ด้วย 7

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -28

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

หารากที่สองของ -12

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

คูณ 2 ด้วย 7

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -4 ไปยัง 2i\sqrt{3}

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

หาร -4+2i\sqrt{3} ด้วย 14

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{3} จาก -4

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

หาร -4-2i\sqrt{3} ด้วย 14

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$7x^{2}+4x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$7x^{2}+4x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

หารด้วย 7 เลิกทำการคูณด้วย 7

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

หาร \frac{4}{7} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{2}{7} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{2}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{2}{7} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

เพิ่ม -\frac{1}{7} ไปยัง \frac{4}{49} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

ตัวประกอบ x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

ลบ \frac{2}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$