แก้โจทย์ 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 64 แทน a, 24\sqrt{5} แทน b และ 33 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

ยกกำลังสอง 24\sqrt{5}

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

คูณ -4 ด้วย 64

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

คูณ -256 ด้วย 33

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

เพิ่ม 2880 ไปยัง -8448

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

หารากที่สองของ -5568

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

คูณ 2 ด้วย 64

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -24\sqrt{5} ไปยัง 8i\sqrt{87}

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

หาร -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} ด้วย 128

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 8i\sqrt{87} จาก -24\sqrt{5}

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

หาร -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} ด้วย 128

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

ลบ 33 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

ลบ 33 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

หารทั้งสองข้างด้วย 64

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

หารด้วย 64 เลิกทำการคูณด้วย 64

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

หาร 24\sqrt{5} ด้วย 64

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

หาร \frac{3\sqrt{5}}{8} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{3\sqrt{5}}{16} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{3\sqrt{5}}{16} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{3\sqrt{5}}{16}

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

เพิ่ม -\frac{33}{64} ไปยัง \frac{45}{256} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

ลบ \frac{3\sqrt{5}}{16} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$