แก้โจทย์ 6x-9y=-1,-2x+y=1

$$6 x - 9 y = - 1 , - 2 x + y = 1$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-9y=-1$$

เพิ่ม 9y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=9y-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(9y-1\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย 9y-1

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}$$

ทดแทน \frac{3y}{2}-\frac{1}{6} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+y=1

$$-2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}\right)+y=1$$

คูณ -2 ด้วย \frac{3y}{2}-\frac{1}{6}

$$-3y+\frac{1}{3}+y=1$$

เพิ่ม -3y ไปยัง y

$$-2y+\frac{1}{3}=1$$

ลบ \frac{1}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=\frac{2}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{1}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง -\frac{1}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$$

เพิ่ม -\frac{1}{6} ไปยัง -\frac{1}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&-\frac{-9}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

เพื่อทำให้ 6x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$-2\times 6x-2\left(-9\right)y=-2\left(-1\right),6\left(-2\right)x+6y=6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-12x+18y=2,-12x+6y=6$$

ลบ -12x+6y=6 จาก -12x+18y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12x+12x+18y-6y=2-6$$

เพิ่ม -12x ไปยัง 12x ตัดพจน์ -12x และ 12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$18y-6y=2-6$$

เพิ่ม 18y ไปยัง -6y

$$12y=2-6$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -6

$$12y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$y=-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{1}{3} สำหรับ y ใน -2x+y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-\frac{1}{3}=1$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=\frac{4}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$