แก้โจทย์ 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

หาค่า x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 15 จากทั้งสองด้าน

$$6x^{2}-x-15=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 6x^{2}+ax+bx-15 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -90

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -1

$$a=-10 b=9$$

เขียน 6x^{2}-x-15 ใหม่เป็น \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

แยกตัวประกอบ 2x ในกลุ่มแรกและ 3 ใน

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x-5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x-5=0 และ 2x+3=0

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$6x^{2}-x=15$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

ลบ 15 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$6x^{2}-x-15=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 6 แทน a, -1 แทน b และ -15 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

คูณ -4 ด้วย 6

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

คูณ -24 ด้วย -15

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 360

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

หารากที่สองของ 361

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

ตรงข้ามกับ -1 คือ 1

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

คูณ 2 ด้วย 6

$$x=\frac{1±19}{12}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±19}{12} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 1 ไปยัง 19

$$x=\frac{20}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{20}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=\frac{5}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±19}{12} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 19 จาก 1

$$x=-\frac{18}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{-18}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$x=-\frac{3}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$6x^{2}-x=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

หารด้วย 6 เลิกทำการคูณด้วย 6

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{15}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

หาร -\frac{1}{6} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{12} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{12} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{12} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยัง \frac{1}{144} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

เพิ่ม \frac{1}{12} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$