แก้โจทย์ 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 6x^{2}+ax+bx+3 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 18

$$1,18 2,9 3,6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 11

$$a=2 b=9$$

เขียน 6x^{2}+11x+3 ใหม่เป็น \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

แยกตัวประกอบ 2x ในกลุ่มแรกและ 3 ใน

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x+1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x+1=0 และ 2x+3=0

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$6x^{2}+11x+3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 6 แทน a, 11 แทน b และ 3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

ยกกำลังสอง 11

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

คูณ -4 ด้วย 6

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

คูณ -24 ด้วย 3

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

เพิ่ม 121 ไปยัง -72

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

หารากที่สองของ 49

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

คูณ 2 ด้วย 6

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-11±7}{12} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -11 ไปยัง 7

$$x=-\frac{4}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{-4}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=-\frac{1}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-11±7}{12} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 7 จาก -11

$$x=-\frac{18}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{-18}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$x=-\frac{3}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$6x^{2}+11x+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

ลบ 3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$6x^{2}+11x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

หารด้วย 6 เลิกทำการคูณด้วย 6

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{-3}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

หาร \frac{11}{6} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{11}{12} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{11}{12} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{11}{12} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

เพิ่ม -\frac{1}{2} ไปยัง \frac{121}{144} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

ลบ \frac{11}{12} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$