แก้โจทย์ 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0.107142857+0.079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0.107142857-0.079859571i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$56x^{2}-12x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 56 แทน a, -12 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

ยกกำลังสอง -12

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

คูณ -4 ด้วย 56

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

เพิ่ม 144 ไปยัง -224

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

หารากที่สองของ -80

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

ตรงข้ามกับ -12 คือ 12

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

คูณ 2 ด้วย 56

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 12 ไปยัง 4i\sqrt{5}

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

หาร 12+4i\sqrt{5} ด้วย 112

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 4i\sqrt{5} จาก 12

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

หาร 12-4i\sqrt{5} ด้วย 112

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$56x^{2}-12x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$56x^{2}-12x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 56

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

หารด้วย 56 เลิกทำการคูณด้วย 56

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

ทำเศษส่วน \frac{-12}{56} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

หาร -\frac{3}{14} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{3}{28} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{3}{28} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{3}{28} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

เพิ่ม -\frac{1}{56} ไปยัง \frac{9}{784} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

เพิ่ม \frac{3}{28} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$