แก้โจทย์ 5x^2-9x+32=0

$$5 x ^ { 2 } - 9 x + 32 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10}\approx 0.9+2.364318084i$$

$$x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}\approx 0.9-2.364318084i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5x^{2}-9x+32=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, -9 แทน b และ 32 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\times 32}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง -9

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\times 32}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\times 32}}{2\times 5}$$

คูณ -20 ด้วย 32

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-640}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 81 ไปยัง -640

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-559}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ -559

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{559}i}{2\times 5}$$

ตรงข้ามกับ -9 คือ 9

$$x=\frac{9±\sqrt{559}i}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 9 ไปยัง i\sqrt{559}

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{559} จาก 9

$$x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10} x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5x^{2}-9x+32=0$$

ลบ 32 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x^{2}-9x+32-32=-32$$

ลบ 32 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5x^{2}-9x=-32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5x^{2}-9x}{5}=-\frac{32}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{32}{5}$$

หาร -\frac{9}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{9}{10} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{9}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{32}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{9}{10} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{32}{5}+\frac{81}{100}$$

เพิ่ม -\frac{32}{5} ไปยัง \frac{81}{100} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{559}{100}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{559}{100}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{559}{100}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{559}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{559}i}{10}$$

เพิ่ม \frac{9}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10} x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$