แก้โจทย์ 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0.4+0.663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0.4-0.663324958i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5x^{2}+4x+3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, 4 แทน b และ 3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง 4

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

คูณ -20 ด้วย 3

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -60

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ -44

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -4 ไปยัง 2i\sqrt{11}

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

หาร -4+2i\sqrt{11} ด้วย 10

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{11} จาก -4

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

หาร -4-2i\sqrt{11} ด้วย 10

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5x^{2}+4x+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

ลบ 3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5x^{2}+4x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

หาร \frac{4}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{2}{5} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{2}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{2}{5} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

เพิ่ม -\frac{3}{5} ไปยัง \frac{4}{25} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

ตัวประกอบ x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

ลบ \frac{2}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$