แก้โจทย์ 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5x^{2}+3x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, 3 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง 3

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -20

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ -11

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -3 ไปยัง i\sqrt{11}

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{11} จาก -3

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5x^{2}+3x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5x^{2}+3x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

หาร \frac{3}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{3}{10} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{3}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{3}{10} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

เพิ่ม -\frac{1}{5} ไปยัง \frac{9}{100} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

ตัวประกอบ x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

ลบ \frac{3}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$