แก้โจทย์ 5(2x-1)^2+9=0

$$5 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } + 9 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-\frac{3\sqrt{5}i}{10}+\frac{1}{2}\approx 0.5-0.670820393i$$

$$x=\frac{3\sqrt{5}i}{10}+\frac{1}{2}\approx 0.5+0.670820393i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x-1\right)^{2}

$$5\left(4x^{2}-4x+1\right)+9=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 4x^{2}-4x+1

$$20x^{2}-20x+5+9=0$$

เพิ่ม 5 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 14

$$20x^{2}-20x+14=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 20 แทน a, -20 แทน b และ 14 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 20\times 14}}{2\times 20}$$

ยกกำลังสอง -20

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 20\times 14}}{2\times 20}$$

คูณ -4 ด้วย 20

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-80\times 14}}{2\times 20}$$

คูณ -80 ด้วย 14

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-1120}}{2\times 20}$$

เพิ่ม 400 ไปยัง -1120

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{-720}}{2\times 20}$$

หารากที่สองของ -720

$$x=\frac{-\left(-20\right)±12\sqrt{5}i}{2\times 20}$$

ตรงข้ามกับ -20 คือ 20

$$x=\frac{20±12\sqrt{5}i}{2\times 20}$$

คูณ 2 ด้วย 20

$$x=\frac{20±12\sqrt{5}i}{40}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{20±12\sqrt{5}i}{40} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 20 ไปยัง 12i\sqrt{5}

$$x=\frac{20+12\sqrt{5}i}{40}$$

หาร 20+12i\sqrt{5} ด้วย 40

$$x=\frac{3\sqrt{5}i}{10}+\frac{1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{20±12\sqrt{5}i}{40} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 12i\sqrt{5} จาก 20

$$x=\frac{-12\sqrt{5}i+20}{40}$$

หาร 20-12i\sqrt{5} ด้วย 40

$$x=-\frac{3\sqrt{5}i}{10}+\frac{1}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{3\sqrt{5}i}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{3\sqrt{5}i}{10}+\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x-1\right)^{2}

$$5\left(4x^{2}-4x+1\right)+9=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 4x^{2}-4x+1

$$20x^{2}-20x+5+9=0$$

เพิ่ม 5 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 14

$$20x^{2}-20x+14=0$$

ลบ 14 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$20x^{2}-20x=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 20

$$\frac{20x^{2}-20x}{20}=-\frac{14}{20}$$

หารด้วย 20 เลิกทำการคูณด้วย 20

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{20}\right)x=-\frac{14}{20}$$

หาร -20 ด้วย 20

$$x^{2}-x=-\frac{14}{20}$$

ทำเศษส่วน \frac{-14}{20} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-x=-\frac{7}{10}$$

หาร -1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{10}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{10}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม -\frac{7}{10} ไปยัง \frac{1}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{20}$$

ตัวประกอบx^{2}-x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{20}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{20}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{5}i}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{5}i}{10}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{3\sqrt{5}i}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{3\sqrt{5}i}{10}+\frac{1}{2}$$