แก้โจทย์ 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

หาค่า x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 5x^{2}+ax+bx-42 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -210

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -29

$$a=-35 b=6$$

เขียน 5x^{2}-29x-42 ใหม่เป็น \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

แยกตัวประกอบ 5x ในกลุ่มแรกและ 6 ใน

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-7 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-7=0 และ 5x+6=0

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5x^{2}-29x-42=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, -29 แทน b และ -42 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง -29

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

คูณ -20 ด้วย -42

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 841 ไปยัง 840

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ 1681

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

ตรงข้ามกับ -29 คือ 29

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=\frac{29±41}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{29±41}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 29 ไปยัง 41

$$x=\frac{70}{10}$$

หาร 70 ด้วย 10

$$x=7$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{29±41}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 41 จาก 29

$$x=-\frac{12}{10}$$

ทำเศษส่วน \frac{-12}{10} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=-\frac{6}{5}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5x^{2}-29x-42=0$$

เพิ่ม 42 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

ลบ -42 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

ลบ -42 จาก 0

$$5x^{2}-29x=42$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

หาร -\frac{29}{5} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{29}{10} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{29}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{29}{10} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

เพิ่ม \frac{42}{5} ไปยัง \frac{841}{100} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

เพิ่ม \frac{29}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$