แก้โจทย์ 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0.5+1.24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.24498996i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$5x^{2}+5x+9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 5 แทน a, 5 แทน b และ 9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

ยกกำลังสอง 5

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

คูณ -4 ด้วย 5

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

คูณ -20 ด้วย 9

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -180

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

หารากที่สองของ -155

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -5 ไปยัง i\sqrt{155}

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

หาร -5+i\sqrt{155} ด้วย 10

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{155} จาก -5

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

หาร -5-i\sqrt{155} ด้วย 10

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$5x^{2}+5x+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

ลบ 9 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$5x^{2}+5x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

หาร 5 ด้วย 5

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม -\frac{9}{5} ไปยัง \frac{1}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

ตัวประกอบ x^{2}+x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$