แก้โจทย์ 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

หาค่า x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก 42x^{2}+ax+bx-3 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบหมายเลขลบมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -126

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -5

$$a=-14 b=9$$

เขียน 42x^{2}-5x-3 ใหม่เป็น \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

แยกตัวประกอบ 14x ในกลุ่มแรกและ 3 ในกลุ่มที่สอง

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ 3x-1=0 และ 14x+3=0

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$42x^{2}-5x-3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 42 แทน a, -5 แทน b และ -3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

ยกกำลังสอง -5

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

คูณ -4 ด้วย 42

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

คูณ -168 ด้วย -3

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง 504

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

หารากที่สองของ 529

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

ตรงข้ามกับ -5 คือ 5

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

คูณ 2 ด้วย 42

$$x=\frac{5±23}{84}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±23}{84} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 5 ไปยัง 23

$$x=\frac{28}{84}$$

ทำเศษส่วน \frac{28}{84} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 28

$$x=\frac{1}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±23}{84} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 23 จาก 5

$$x=-\frac{18}{84}$$

ทำเศษส่วน \frac{-18}{84} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$x=-\frac{3}{14}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$42x^{2}-5x-3=0$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

ลบ -3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

ลบ -3 จาก 0

$$42x^{2}-5x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 42

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

หารด้วย 42 เลิกทำการคูณด้วย 42

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

ทำเศษส่วน \frac{3}{42} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

หาร -\frac{5}{42} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{5}{84} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{5}{84} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{5}{84} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

เพิ่ม \frac{1}{14} ไปยัง \frac{25}{7056} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

ตัวประกอบ x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

เพิ่ม \frac{5}{84} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$