แก้โจทย์ 4x-9y=12text{con}2x+6y=-1

$$4 x - 9 y = 12 \text { con } 2 x + 6 y = - 1$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-9y=12$$

เพิ่ม 9y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=9y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(9y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 9y+12

$$x=\frac{9}{4}y+3$$

ทดแทน \frac{9y}{4}+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+6y=-1

$$2\left(\frac{9}{4}y+3\right)+6y=-1$$

คูณ 2 ด้วย \frac{9y}{4}+3

$$\frac{9}{2}y+6+6y=-1$$

เพิ่ม \frac{9y}{2} ไปยัง 6y

$$\frac{21}{2}y+6=-1$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{21}{2}y=-7$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{21}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{2}{3}$$

ทดแทน -\frac{2}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{9}{4}y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{9}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)+3$$

คูณ \frac{9}{4} ครั้ง -\frac{2}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -\frac{3}{2}

$$x=\frac{3}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}&-\frac{-9}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{14}\\-\frac{1}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 12+\frac{3}{14}\left(-1\right)\\-\frac{1}{21}\times 12+\frac{2}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

เพื่อทำให้ 4x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$2\times 4x+2\left(-9\right)y=2\times 12,4\times 2x+4\times 6y=4\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-18y=24,8x+24y=-4$$

ลบ 8x+24y=-4 จาก 8x-18y=24 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-18y-24y=24+4$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-18y-24y=24+4$$

เพิ่ม -18y ไปยัง -24y

$$-42y=24+4$$

เพิ่ม 24 ไปยัง 4

$$-42y=28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -42

$$y=-\frac{2}{3}$$

ทดแทน -\frac{2}{3} สำหรับ y ใน 2x+6y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+6\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{2}{3}

$$2x-4=-1$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{3}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$