แก้โจทย์ 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-5y=-14$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=5y-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 5y-14

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

ทดแทน \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x+y=-5

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

คูณ 7 ด้วย \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

เพิ่ม \frac{35y}{4} ไปยัง y

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

เพิ่ม \frac{49}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{39}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

คูณ \frac{5}{4} ด้วย 2

$$x=\frac{5-7}{2}$$

เพิ่ม -\frac{7}{2} ไปยัง \frac{5}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

เพื่อทำให้ 4x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

ลบ 28x+4y=-20 จาก 28x-35y=-98 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

เพิ่ม 28x ไปยัง -28x ตัดพจน์ 28x และ -28x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-35y-4y=-98+20$$

เพิ่ม -35y ไปยัง -4y

$$-39y=-98+20$$

เพิ่ม -98 ไปยัง 20

$$-39y=-78$$

หารทั้งสองข้างด้วย -39

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 7x+y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x+2=-5$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=2$$