แก้โจทย์ 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

หาค่า x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 4x^{2}+ax+bx+3 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 12

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -7

$$a=-4 b=-3$$

เขียน 4x^{2}-7x+3 ใหม่เป็น \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

แยกตัวประกอบ 4x ในกลุ่มแรกและ -3 ใน

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-1=0 และ 4x-3=0

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}-7x+3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, -7 แทน b และ 3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง -7

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย 3

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง -48

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ 1

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

ตรงข้ามกับ -7 คือ 7

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{7±1}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{7±1}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 7 ไปยัง 1

$$x=\frac{8}{8}$$

หาร 8 ด้วย 8

$$x=1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{7±1}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 1 จาก 7

$$x=\frac{6}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{6}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{3}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}-7x+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

ลบ 3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}-7x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

หาร -\frac{7}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{7}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{7}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{7}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

เพิ่ม -\frac{3}{4} ไปยัง \frac{49}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

เพิ่ม \frac{7}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$