แก้โจทย์ 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

หาค่า x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 4x^{2}+ax+bx+1 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 4

$$-1,-4 -2,-2$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -5

$$a=-4 b=-1$$

เขียน 4x^{2}-5x+1 ใหม่เป็น \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

แยกตัวประกอบ 4x ในกลุ่มแรกและ -1 ใน

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-1=0 และ 4x-1=0

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}-5x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, -5 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง -5

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -16

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ 9

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

ตรงข้ามกับ -5 คือ 5

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{5±3}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±3}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 5 ไปยัง 3

$$x=\frac{8}{8}$$

หาร 8 ด้วย 8

$$x=1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±3}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 3 จาก 5

$$x=\frac{2}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{2}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{1}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}-5x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}-5x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

หาร -\frac{5}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{5}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{5}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{5}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

เพิ่ม -\frac{1}{4} ไปยัง \frac{25}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

เพิ่ม \frac{5}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$