แก้โจทย์ 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0.25+1.479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0.25-1.479019946i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}-2x+9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, -2 แทน b และ 9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย 9

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -144

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ -140

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2 ไปยัง 2i\sqrt{35}

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

หาร 2+2i\sqrt{35} ด้วย 8

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{35} จาก 2

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

หาร 2-2i\sqrt{35} ด้วย 8

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}-2x+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

ลบ 9 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}-2x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

ทำเศษส่วน \frac{-2}{4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

หาร -\frac{1}{2} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{4} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{4} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

เพิ่ม -\frac{9}{4} ไปยัง \frac{1}{16} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$