แก้โจทย์ 4x^2-14x+13=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1.75+0.433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1.75-0.433012702i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}-14x+13=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, -14 แทน b และ 13 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง -14

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย 13

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 196 ไปยัง -208

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ -12

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

ตรงข้ามกับ -14 คือ 14

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 14 ไปยัง 2i\sqrt{3}

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

หาร 14+2i\sqrt{3} ด้วย 8

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{3} จาก 14

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

หาร 14-2i\sqrt{3} ด้วย 8

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}-14x+13=0$$

ลบ 13 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

ลบ 13 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}-14x=-13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

ทำเศษส่วน \frac{-14}{4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

หาร -\frac{7}{2} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{7}{4} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{7}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{7}{4} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

เพิ่ม -\frac{13}{4} ไปยัง \frac{49}{16} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

เพิ่ม \frac{7}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$