แก้โจทย์ 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}-11x+30=16$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

ลบ 16 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

ลบ 16 จาก 30

$$4x^{2}-11x+14=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, -11 แทน b และ 14 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง -11

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย 14

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 121 ไปยัง -224

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ -103

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

ตรงข้ามกับ -11 คือ 11

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 11 ไปยัง i\sqrt{103}

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{103} จาก 11

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}-11x+30=16$$

ลบ 30 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

ลบ 30 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}-11x=16-30$$

ลบ 30 จาก 16

$$4x^{2}-11x=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

ทำเศษส่วน \frac{-14}{4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

หาร -\frac{11}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{11}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{11}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{11}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

เพิ่ม -\frac{7}{2} ไปยัง \frac{121}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

เพิ่ม \frac{11}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$