แก้โจทย์ 4x^2+7x=1

$$4 x ^ { 2 } + 7 x = 1$$

หาค่า x

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}\approx 0.132782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}\approx -1.882782219$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}+7x=1$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}+7x-1=1-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}+7x-1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, 7 แทน b และ -1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง 7

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย -1

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง 16

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -7 ไปยัง \sqrt{65}

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \sqrt{65} จาก -7

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}+7x=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{1}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

หาร \frac{7}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{7}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{7}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{7}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยัง \frac{49}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

ลบ \frac{7}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$