แก้โจทย์ 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}+4x+9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, 4 แทน b และ 9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง 4

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย 9

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -144

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ -128

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -4 ไปยัง 8i\sqrt{2}

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

หาร -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} ด้วย 8

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 8i\sqrt{2} จาก -4

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

หาร -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} ด้วย 8

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}+4x+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

ลบ 9 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}+4x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

หาร 4 ด้วย 4

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

เพิ่ม -\frac{9}{4} ไปยัง \frac{1}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

ตัวประกอบx^{2}+x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$