แก้โจทย์ 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

หาค่า n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 11 จากทั้งสองด้าน

$$4n^{2}-7n-11=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 4n^{2}+an+bn-11 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -44

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -7

$$a=-11 b=4$$

เขียน 4n^{2}-7n-11 ใหม่เป็น \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

แยกตัวประกอบ n ใน 4n^{2}-11n

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 4n-11 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 4n-11=0 และ n+1=0

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4n^{2}-7n=11$$

ลบ 11 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

ลบ 11 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4n^{2}-7n-11=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, -7 แทน b และ -11 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง -7

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย -11

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง 176

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ 225

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

ตรงข้ามกับ -7 คือ 7

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$n=\frac{7±15}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{7±15}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 7 ไปยัง 15

$$n=\frac{22}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{22}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$n=\frac{11}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{7±15}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 15 จาก 7

$$n=-\frac{8}{8}$$

หาร -8 ด้วย 8

$$n=-1$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4n^{2}-7n=11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

หาร -\frac{7}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{7}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{7}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{7}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

เพิ่ม \frac{11}{4} ไปยัง \frac{49}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

ตัวประกอบn^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

เพิ่ม \frac{7}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$