แก้โจทย์ 4k^2+7k+3=0

$$4 k ^ { 2 } + 7 k + 3 = 0$$

หาค่า k

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$k=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 4k^{2}+ak+bk+3 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=7 ab=4\times 3=12$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 12

$$1,12 2,6 3,4$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 7

$$a=3 b=4$$

เขียน 4k^{2}+7k+3 ใหม่เป็น \left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right)

$$\left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right)$$

แยกตัวประกอบ k ใน 4k^{2}+3k

$$k\left(4k+3\right)+4k+3$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 4k+3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(4k+3\right)\left(k+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 4k+3=0 และ k+1=0

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4k^{2}+7k+3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, 7 แทน b และ 3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$k=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง 7

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย 3

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 49 ไปยัง -48

$$k=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ 1

$$k=\frac{-7±1}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$k=\frac{-7±1}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ k=\frac{-7±1}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -7 ไปยัง 1

$$k=-\frac{6}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{-6}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$k=-\frac{3}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ k=\frac{-7±1}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 1 จาก -7

$$k=-\frac{8}{8}$$

หาร -8 ด้วย 8

$$k=-1$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4k^{2}+7k+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4k^{2}+7k+3-3=-3$$

ลบ 3 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4k^{2}+7k=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4k^{2}+7k}{4}=-\frac{3}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$k^{2}+\frac{7}{4}k=-\frac{3}{4}$$

หาร \frac{7}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{7}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{7}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{7}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

เพิ่ม -\frac{3}{4} ไปยัง \frac{49}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

ตัวประกอบk^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$k+\frac{7}{8}=\frac{1}{8} k+\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

ลบ \frac{7}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$