แก้โจทย์ 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2.716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2.716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0.212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0.212547035$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x^{2}+1

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x^{2}+4 ด้วย 2x^{2}+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x^{2}-1\right)^{2}

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย x^{4}-2x^{2}+1

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

ลบ 5x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

รวม 8x^{4} และ -5x^{4} เพื่อให้ได้รับ 3x^{4}

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

เพิ่ม 10x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

รวม 12x^{2} และ 10x^{2} เพื่อให้ได้รับ 22x^{2}

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

ลบ 5 จาก 4 เพื่อรับ -1

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

แทนค่า t สำหรับ x^{2}

$$3t^{2}+22t-1=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 3 สำหรับ a 22 สำหรับ b และ -1 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

แก้สมการ t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

เนื่องจาก x=t^{2} ได้ผลเฉลยโดยการหาค่า x=±\sqrt{t} สำหรับแต่ละ t

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

หาค่า x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0.212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0.212547035$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x^{2}+1

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x^{2}+4 ด้วย 2x^{2}+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x^{2}-1\right)^{2}

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย x^{4}-2x^{2}+1

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

ลบ 5x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

รวม 8x^{4} และ -5x^{4} เพื่อให้ได้รับ 3x^{4}

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

เพิ่ม 10x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

รวม 12x^{2} และ 10x^{2} เพื่อให้ได้รับ 22x^{2}

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

ลบ 5 จาก 4 เพื่อรับ -1

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

แทนค่า t สำหรับ x^{2}

$$3t^{2}+22t-1=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 3 สำหรับ a 22 สำหรับ b และ -1 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

แก้สมการ t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

เนื่องจาก x=t^{2} ได้ผลเฉลยโดยการหาค่า x=±\sqrt{t} สำหรับ t เชิงบวก

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$