แก้โจทย์ 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

หาค่า x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x^{2}+2x+1

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

ลบ 169 จาก 4 เพื่อรับ -165

$$4x^{2}+8x-165=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 4x^{2}+ax+bx-165 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -660

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 8

$$a=-22 b=30$$

เขียน 4x^{2}+8x-165 ใหม่เป็น \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

แยกตัวประกอบ 2x ในกลุ่มแรกและ 15 ใน

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 2x-11 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 2x-11=0 และ 2x+15=0

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x^{2}+2x+1

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

ลบ 169 จาก 4 เพื่อรับ -165

$$4x^{2}+8x-165=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, 8 แทน b และ -165 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง 8

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย -165

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 64 ไปยัง 2640

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ 2704

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-8±52}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -8 ไปยัง 52

$$x=\frac{44}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{44}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=\frac{11}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-8±52}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 52 จาก -8

$$x=-\frac{60}{8}$$

ทำเศษส่วน \frac{-60}{8} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=-\frac{15}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x^{2}+2x+1

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

ลบ 169 จาก 4 เพื่อรับ -165

$$4x^{2}+8x-165=0$$

เพิ่ม 165 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$4x^{2}+8x=165$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

หาร 8 ด้วย 4

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

หาร 2 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ 1 จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

ยกกำลังสอง 1

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

เพิ่ม \frac{165}{4} ไปยัง 1

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+2x+1 โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$