แก้โจทย์ 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0.625+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0.625-1.452368755i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}-5x+10=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, -5 แทน b และ 10 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง -5

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย 10

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -160

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ -135

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

ตรงข้ามกับ -5 คือ 5

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 5 ไปยัง 3i\sqrt{15}

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 3i\sqrt{15} จาก 5

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}-5x+10=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

ลบ 10 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}-5x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

ทำเศษส่วน \frac{-10}{4} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

หาร -\frac{5}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{5}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{5}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{5}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

เพิ่ม -\frac{5}{2} ไปยัง \frac{25}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

เพิ่ม \frac{5}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$