แก้โจทย์ 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

หาค่า x

$$x=-6$$

$$x=5$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 120 จากทั้งสองด้าน

$$4x^{2}+4x-120=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x^{2}+x-30=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น x^{2}+ax+bx-30 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -30

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 1

$$a=-5 b=6$$

เขียน x^{2}+x-30 ใหม่เป็น \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 6 ใน

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-5=0 และ x+6=0

$$x=5 x=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$4x^{2}+4x=120$$

ลบ 120 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

ลบ 120 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$4x^{2}+4x-120=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 4 แทน a, 4 แทน b และ -120 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

ยกกำลังสอง 4

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

คูณ -16 ด้วย -120

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

เพิ่ม 16 ไปยัง 1920

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

หารากที่สองของ 1936

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4±44}{8} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -4 ไปยัง 44

$$x=\frac{40}{8}$$

หาร 40 ด้วย 8

$$x=5$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-4±44}{8} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 44 จาก -4

$$x=-\frac{48}{8}$$

หาร -48 ด้วย 8

$$x=-6$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=5 x=-6$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$4x^{2}+4x=120$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

หารด้วย 4 เลิกทำการคูณด้วย 4

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

หาร 4 ด้วย 4

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

หาร 120 ด้วย 4

$$x^{2}+x=30$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม 30 ไปยัง \frac{1}{4}

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=5 x=-6$$