แก้โจทย์ 3x+3=x^2+4x+5

$$3x+3= { x }^{ 2 } +4x+5$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0.5-1.322875656i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0.5+1.322875656i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

รวม 3x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+3-x^{2}=5$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$-x+3-x^{2}-5=0$$

ลบ 5 จาก 3 เพื่อรับ -2

$$-x-2-x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-x^{2}-x-2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, -1 แทน b และ -2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย -2

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -8

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ -7

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

ตรงข้ามกับ -1 คือ 1

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 1 ไปยัง i\sqrt{7}

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{-2}$$

หาร 1+i\sqrt{7} ด้วย -2

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{7} จาก 1

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{-2}$$

หาร 1-i\sqrt{7} ด้วย -2

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

รวม 3x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+3-x^{2}=5$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$-x-x^{2}=5-3$$

ลบ 3 จาก 5 เพื่อรับ 2

$$-x-x^{2}=2$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-x^{2}-x=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{2}{-1}$$

หาร -1 ด้วย -1

$$x^{2}+x=\frac{2}{-1}$$

หาร 2 ด้วย -1

$$x^{2}+x=-2$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม -2 ไปยัง \frac{1}{4}

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$