แก้โจทย์ 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0.048387097+0.172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0.048387097-0.172964602i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$31x^{2}-3x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 31 แทน a, -3 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

ยกกำลังสอง -3

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

คูณ -4 ด้วย 31

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -124

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

หารากที่สองของ -115

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

ตรงข้ามกับ -3 คือ 3

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

คูณ 2 ด้วย 31

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 3 ไปยัง i\sqrt{115}

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ i\sqrt{115} จาก 3

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$31x^{2}-3x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$31x^{2}-3x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 31

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

หารด้วย 31 เลิกทำการคูณด้วย 31

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

หาร -\frac{3}{31} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{3}{62} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{3}{62} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{3}{62} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

เพิ่ม -\frac{1}{31} ไปยัง \frac{9}{3844} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

เพิ่ม \frac{3}{62} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$