แก้โจทย์ 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

หาค่า x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13.428571429$$

$$x=12$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 3384 จากทั้งสองด้าน

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

จัดเรียงพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน วางตามลำดับจากดีกรีที่มากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 7x^{2}+ax+bx-1128 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -7896

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 10

$$a=-84 b=94$$

เขียน 7x^{2}+10x-1128 ใหม่เป็น \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

แยกตัวประกอบ 7x ในกลุ่มแรกและ 94 ใน

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-12 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-12=0 และ 7x+94=0

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$21x^{2}+30x=3384$$

ลบ 3384 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

ลบ 3384 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 21 แทน a, 30 แทน b และ -3384 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

ยกกำลังสอง 30

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

คูณ -4 ด้วย 21

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

คูณ -84 ด้วย -3384

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

เพิ่ม 900 ไปยัง 284256

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

หารากที่สองของ 285156

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

คูณ 2 ด้วย 21

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-30±534}{42} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -30 ไปยัง 534

$$x=\frac{504}{42}$$

หาร 504 ด้วย 42

$$x=12$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-30±534}{42} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 534 จาก -30

$$x=-\frac{564}{42}$$

ทำเศษส่วน \frac{-564}{42} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$x=-\frac{94}{7}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$21x^{2}+30x=3384$$

หารทั้งสองข้างด้วย 21

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

หารด้วย 21 เลิกทำการคูณด้วย 21

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

ทำเศษส่วน \frac{30}{21} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

ทำเศษส่วน \frac{3384}{21} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

หาร \frac{10}{7} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{5}{7} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{5}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{5}{7} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

เพิ่ม \frac{1128}{7} ไปยัง \frac{25}{49} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

ลบ \frac{5}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$