แก้โจทย์ 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

หาค่า t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9.933333333+1.152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9.933333333-1.152774431i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(t+10\right)^{2}

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 225 ด้วย t^{2}+20t+100

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

ลบ 225t^{2} จากทั้งสองด้าน

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

ลบ 4500t จากทั้งสองด้าน

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

รวม 30t และ -4500t เพื่อให้ได้รับ -4470t

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

ลบ 22500 จากทั้งสองด้าน

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -225 แทน a, -4470 แทน b และ -22500 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

ยกกำลังสอง -4470

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -225

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

คูณ 900 ด้วย -22500

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

เพิ่ม 19980900 ไปยัง -20250000

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

หารากที่สองของ -269100

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

ตรงข้ามกับ -4470 คือ 4470

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -225

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

ตอนนี้ แก้สมการ t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 4470 ไปยัง 30i\sqrt{299}

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

หาร 4470+30i\sqrt{299} ด้วย -450

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

ตอนนี้ แก้สมการ t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 30i\sqrt{299} จาก 4470

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

หาร 4470-30i\sqrt{299} ด้วย -450

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(t+10\right)^{2}

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 225 ด้วย t^{2}+20t+100

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

ลบ 225t^{2} จากทั้งสองด้าน

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

ลบ 4500t จากทั้งสองด้าน

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

รวม 30t และ -4500t เพื่อให้ได้รับ -4470t

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

หารทั้งสองข้างด้วย -225

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

หารด้วย -225 เลิกทำการคูณด้วย -225

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

ทำเศษส่วน \frac{-4470}{-225} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 15

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

หาร 22500 ด้วย -225

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

หาร \frac{298}{15} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{149}{15} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{149}{15} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{149}{15} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

เพิ่ม -100 ไปยัง \frac{22201}{225}

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

ตัวประกอบt^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

ลบ \frac{149}{15} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$