แก้โจทย์ 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-y=2,2x-y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-y=2$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย y+2

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{2+y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=3

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

คูณ 2 ด้วย \frac{2+y}{3}

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

ลบ \frac{4}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-5$$

ทดแทน -5 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยัง -\frac{5}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-1,y=-5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-y=2,2x-y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-y=2,2x-y=3$$

ลบ 2x-y=3 จาก 3x-y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2x-y+y=2-3$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x-2x=2-3$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -2x

$$x=2-3$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -3

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน 2x-y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2\left(-1\right)-y=3$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$-2-y=3$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-5$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-1,y=-5$$