แก้โจทย์ 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

หาค่า x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx+84 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 252

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -32

$$a=-18 b=-14$$

เขียน 3x^{2}-32x+84 ใหม่เป็น \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

แยกตัวประกอบ 3x ในกลุ่มแรกและ -14 ใน

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-6 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-6=0 และ 3x-14=0

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}-32x+84=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, -32 แทน b และ 84 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง -32

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย 84

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 1024 ไปยัง -1008

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 16

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

ตรงข้ามกับ -32 คือ 32

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{32±4}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{32±4}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 32 ไปยัง 4

$$x=\frac{36}{6}$$

หาร 36 ด้วย 6

$$x=6$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{32±4}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 4 จาก 32

$$x=\frac{28}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{28}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{14}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}-32x+84=0$$

ลบ 84 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

ลบ 84 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}-32x=-84$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

หาร -84 ด้วย 3

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

หาร -\frac{32}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{16}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{16}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{16}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

เพิ่ม -28 ไปยัง \frac{256}{9}

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

เพิ่ม \frac{16}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$