แก้โจทย์ 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

หาค่า x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx-16 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -48

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -2

$$a=-8 b=6$$

เขียน 3x^{2}-2x-16 ใหม่เป็น \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 2 ใน

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x-8 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x-8=0 และ x+2=0

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}-2x-16=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, -2 แทน b และ -16 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง -2

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย -16

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 192

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 196

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

ตรงข้ามกับ -2 คือ 2

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{2±14}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±14}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2 ไปยัง 14

$$x=\frac{16}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{16}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{8}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2±14}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 14 จาก 2

$$x=-\frac{12}{6}$$

หาร -12 ด้วย 6

$$x=-2$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}-2x-16=0$$

เพิ่ม 16 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

ลบ -16 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

ลบ -16 จาก 0

$$3x^{2}-2x=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

หาร -\frac{2}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

เพิ่ม \frac{16}{3} ไปยัง \frac{1}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$