แก้โจทย์ 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}+2x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, 2 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง 2

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -12

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ -8

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -2 ไปยัง 2i\sqrt{2}

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

หาร -2+2i\sqrt{2} ด้วย 6

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{2} จาก -2

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

หาร -2-2i\sqrt{2} ด้วย 6

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}+2x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

ลบ 1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}+2x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

หาร \frac{2}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

เพิ่ม -\frac{1}{3} ไปยัง \frac{1}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

ลบ \frac{1}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$