แก้โจทย์ 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

หาค่า x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx-12 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -36

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 16

$$a=-2 b=18$$

เขียน 3x^{2}+16x-12 ใหม่เป็น \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 6 ใน

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x-2 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x-2=0 และ x+6=0

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$3x^{2}+16x-12=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3 แทน a, 16 แทน b และ -12 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

ยกกำลังสอง 16

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -4 ด้วย 3

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

คูณ -12 ด้วย -12

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

เพิ่ม 256 ไปยัง 144

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

หารากที่สองของ 400

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

คูณ 2 ด้วย 3

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-16±20}{6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -16 ไปยัง 20

$$x=\frac{4}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{4}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=\frac{2}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-16±20}{6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 20 จาก -16

$$x=-\frac{36}{6}$$

หาร -36 ด้วย 6

$$x=-6$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$3x^{2}+16x-12=0$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

ลบ -12 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

ลบ -12 จาก 0

$$3x^{2}+16x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

หารด้วย 3 เลิกทำการคูณด้วย 3

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

หาร 12 ด้วย 3

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

หาร \frac{16}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{8}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{8}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{8}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง \frac{64}{9}

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

ลบ \frac{8}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$