แก้โจทย์ 3x+y=-2;2x-y=-8

$$3 x + y = - 2 ; 2 x - y = - 8$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=-2,2x-y=-8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=-2$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-2\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y-2

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{-y-2}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=-8

$$2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=-8$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-y-2}{3}

$$-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}-y=-8$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{5}{3}y-\frac{4}{3}=-8$$

เพิ่ม \frac{4}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{20}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 4

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

เพิ่ม -\frac{2}{3} ไปยัง -\frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=-2,2x-y=-8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{2}{5}\left(-2\right)-\frac{3}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=-2,2x-y=-8$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2y=2\left(-2\right),3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\left(-8\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+2y=-4,6x-3y=-24$$

ลบ 6x-3y=-24 จาก 6x+2y=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+2y+3y=-4+24$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+3y=-4+24$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 3y

$$5y=-4+24$$

เพิ่ม -4 ไปยัง 24

$$5y=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 2x-y=-8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-4=-8$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=4$$