แก้โจทย์ 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

หาค่า x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$3x+9-6y=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-6y=-9$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 12 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$-2x-2y=12$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-6y=-9$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=6y-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 6y-9

$$x=2y-3$$

ทดแทน 2y-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x-2y=12

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

คูณ -2 ด้วย 2y-3

$$-4y+6-2y=12$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -2y

$$-6y+6=12$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-6y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=2y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\left(-1\right)-3$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=-2-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง -2

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$3x+9-6y=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-6y=-9$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 12 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$-2x-2y=12$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-5,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$3x+9-6y=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-6y=-9$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 12 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$-2x-2y=12$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

เพื่อทำให้ 3x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

ลบ -6x-6y=36 จาก -6x+12y=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

เพิ่ม -6x ไปยัง 6x ตัดพจน์ -6x และ 6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y+6y=18-36$$

เพิ่ม 12y ไปยัง 6y

$$18y=18-36$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -36

$$18y=-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน -2x-2y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

คูณ -2 ด้วย -1

$$-2x+2=12$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=-1$$