แก้โจทย์ 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

หาค่า x

$$x=-1$$

$$x=4$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x+5-x^{2}=1$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

ลบ 1 จาก 5 เพื่อรับ 4

$$3x+4-x^{2}=0$$

จัดเรียงพหุเพื่อวางไว้ในรูปแบบมาตรฐาน วางพจน์ตามลำดับจากกำลังสูงสุดถึงต่ำสุด

$$-x^{2}+3x+4=0$$

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก -x^{2}+ax+bx+4 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าบวกหมายเลขบวกมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -4

$$-1,4 -2,2$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+4=3 -2+2=0$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม 3

$$a=4 b=-1$$

เขียน -x^{2}+3x+4 ใหม่เป็น \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

แยกตัวประกอบ -x ในกลุ่มแรกและ -1 ในกลุ่มที่สอง

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-4 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ x-4=0 และ -x-1=0

$$x=4 x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x+5-x^{2}=1$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

ลบ 1 จาก 5 เพื่อรับ 4

$$3x+4-x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-x^{2}+3x+4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 3 แทน b และ 4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 3

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย 4

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง 16

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 25

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-3±5}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -3 ไปยัง 5

$$x=\frac{2}{-2}$$

หาร 2 ด้วย -2

$$x=-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-3±5}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 5 จาก -3

$$x=-\frac{8}{-2}$$

หาร -8 ด้วย -2

$$x=4$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-1 x=4$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x+5-x^{2}=1$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$3x-x^{2}=1-5$$

ลบ 5 จาก 1 เพื่อรับ -4

$$3x-x^{2}=-4$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-x^{2}+3x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

หาร 3 ด้วย -1

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

หาร -4 ด้วย -1

$$x^{2}-3x=4$$

หาร -3 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{3}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{3}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{3}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง \frac{9}{4}

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

ตัวประกอบ x^{2}-3x+\frac{9}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=4 x=-1$$