แก้โจทย์ 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=8$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+8

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y+8}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-4y=6

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-2y+8}{3}

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

เพิ่ม -\frac{10y}{3} ไปยัง -4y

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

ลบ \frac{40}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{22}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยัง -\frac{2}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

ลบ 15x-12y=18 จาก 15x+10y=40 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y+12y=40-18$$

เพิ่ม 10y ไปยัง 12y

$$22y=40-18$$

เพิ่ม 40 ไปยัง -18

$$22y=22$$

หารทั้งสองข้างด้วย 22

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 5x-4y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-4=6$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$